这是一篇考拉内部小型技术分享的文章。
这次分享一个求近似平方根的快速方法: 牛顿法。 先上代码:def sqrt(n): ret = n while ret * ret > n: ret = (ret + n / ret) / 2 return retprint(sqrt(4))print(sqrt(2))
代码很简短，很神奇，为什么这样子可以求出来平方根呢？下面来推导一下。
设n的平方根为x， 则有 
, 即
, 写成对x的函数的形式为
。假设n=4, 我们都知道，4的平方根是2，那用牛顿法怎么求出来呢？先画出来这个函数的图形。
from matplotlib import pyplot as pltimport numpy as np%matplotlib notebookxs = np.linspace(-6, 6, 1000)ys = [x * x - 4 for x in xs]plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.plot(xs, [0] * 1000)plt.plot([0] * 1000, np.linspace(-6, 30, 1000))plt.plot(xs, ys) []
然后我们取一个点，先取点
, 然后做一条切线，它会跟x轴相交于点(2.5, 0), 相同横坐标对应函数上的点为
, 然后我们在x1处再做一条切线，它会和x轴相交于点(2.05, 0), 相同横坐标对应函数上的点为x2(2.05, 0.2025), 继续这样迭代下去，将很快求出来最后x是2.
def f(x): return x * x - 4xs = np.linspace(-6, 6, 1000)ys = [f(x) for x in xs]plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.plot(xs, [0] * 1000)plt.plot([0] * 1000, np.linspace(-6, 30, 1000))plt.plot(xs, ys)plt.plot(4, f(4), 'ro')plt.annotate('x0(4, 12)', (2, 12))plt.plot([4, 4], [0, 12], '--')k0 = (f(4 + 0.1) - f(4 - 0.1)) / 0.2b0 = f(4) - k0 * 4def f_tangent0(x): """ 点x0的切线方程 """ return k0 * x + b0xs = np.linspace(2, 6, 1000)ys = [f_tangent0(x) for x in xs]plt.plot(xs, ys)plt.plot(2.5, f(2.5), 'ro')plt.annotate('x1(2.5, 2.25)', (0.5, 5))plt.plot([2.5, 2.5], [0, 2.25], '--')k1 = (f(2.5 + 0.1) - f(2.5 - 0.1)) / 0.2b1 = f(2.5) - k1 * 2.5def f_tangent1(x): """ 点x1的切线方程 """ return k1 * x + b1xs = np.linspace(1, 6, 1000)ys = [f_tangent1(x) for x in xs]plt.plot(xs, ys)# plt.plot(2.05, f(2.05), 'ro')# plt.annotate('x1(2.05, 0.2)', (2.05, -5)) []
从图形上可以比较直观的理解牛顿迭代法，但是从代数上怎么进行计算呢？现在来推导一下:
设n的平方根为x， 则有 
, 即
, 写成对x的函数的形式为
，我们取一个点
, 作一条切线，那么切线的斜率k就是
的导数:
由上面的图可以看出来，作x0到x轴的垂线，围成了一个三角形，由三角定理可知:
所以有:
化简得:
再看一次代码:
def sqrt(n): ret = n while ret * ret > n: ret = (ret + n / ret) / 2 return ret
一致!
牛顿迭代法求平方根就是这样推导出来的。
其实牛顿法，除了应用在求平方根上，还有很多应用，在机器学习算法的最后优化步骤中，会使用牛顿法求任意函数的最优解，不仅限于
这种类型。
建议大家做一下leetcode这道题: ，会加深理解。
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